Exista (si în ce conditii) o functie F: J® R a carei derivata sa fie functia data f ?

Cum se poate determina o asemenea functie F, pornind de la f ?

Astfel vom studia câteva metode de obtinere a functiilor F, care verifica relatia F¢ =f.

Fie nÎ N si f : R® R functia definita prin relatia f(x)=xⁿ , (" ) xÎ R.

Atunci pentru orice numar real fixat c, functia F_c(x)= +c, (" ) xÎ R este o primitiva a lui f.

Functia F(x)=(sin x)², (" ) xÎ R este o primitiva a functiei f(x)= 2sin x cos x, (" ) xÎ R. Daca a>0, a¹ 1, atunci functia F(x)=, (" ) xÎ R este o primitiva a functiei f(x)=a^x.

Propozitie: Fie f : J® R unde JÌ R. Daca F₁, F₂: J® R sunt doua primitive ale functiei f, atunci exista o constanta cÎ R astfel încât

F₁(x)= F₂(x)+c, (" ) xÎ J.

Data fiind o primitiva F₀ a unei functii f : J® R, atunci orice alta primitiva F a lui f este de forma F= F₀ + c, unde c este o functie constanta pe J. Aceasta înseamna ca daca o functie f admite primitiva, atunci f admite o infinitate de primitive.

Definitia primitivei s-ar putea extinde si la functii definite pe reuniuni finite de intervale disjuncte, deoarece conditiile din definitie au sens si în acest caz mai general. Însa nu mai este adevarat ca doua astfel de primitive difera printr-o constanta. De exemplu, fie f : R\{0}® R functia definita prin f(x)=x². Atunci functiile F,G : R\{0}® R definite prin: F(x)= , (" ) xÎ R\{0}, respectiv

G(x)= sunt derivabile pe R\{0} si verifica relatiile: F¢ (x)=f(x)= G¢ (x), (" ) xÎ R\{0}. Totusi, diferenta G – F nu este constanta. O functie care admite primitive are proprietatea lui Darboux. Într-adevar, daca f : J® R admite primitive, atunci exista o functie derivabila F: J® R cu proprietatea F¢ =f. Se stie însa ca derivata oricarei functii derivabile are proprietatea lui Darboux. Asadar, f are proprietatea lui Darboux.

Daca f : J® R unde JÌ R este o functie astfel încât multimea f(J)={f(x)| xÎ J} (imaginea lui J prin f) nu este interval atunci functia f nu admite primitive. Orice functie continua f: [a, b] ® R admite primitive.