Free Web Hosting Provider - Web Hosting - E-commerce - High Speed Internet - Free Web Page
Search the Web

Free Web Hosting Provider - Web Hosting - E-commerce - High Speed Internet - Free Web Page - Photo Sharing
Search the Web

Exercitii

Sa se arate ca urmatoarele functii nu poseda primitive pe R:

	f(x)=[x] , xÎR
Oi fi eu frumoasa, dar sunt si desteapta!
Solutie: Daca presupunem ca exista F: R® R, derivabila cu F¢ =f, atunci F¢ având proprietatea lui Darboux, rezulta ca si f are proprietatea lui Darboux, ceea ce este absurd deoarece f(R)=Z, iar Z nu este un interval.

	f(x)=
Asta ce mai e?
Solutie: Se observa ca imaginea lui R prin f este multimea {-1,0,1}, care nu este un interval, deci f nu are proprietatea lui Darboux. Deci nu exista F: R® R, derivabila cu F¢ =f, prin urmare f nu poseda primitive.

	f(x)=
Daca si asta este primitiva...
Solutie: Se observa ca functiile f |(-¥ ,0],f |(0,+¥ ) admit, respectiv ca primitive functiile F1(x)=c, F2(x)=. Daca presupunem ca exista F: R® R primitiva pentru f, atunci F |(-¥ ,0]= F1+ c1 = k , F |(0,+¥ )= F2+ c2. Cum orice primitiva este functie derivabila deci continua, atunci primitiva F este continua în origine, deci: c1=c2=k. Deci F este de forma: F(x)= Dar F nu este derivabila în origine, contradictie cu derivabilitatea lui F pe toata multimea R.

	f(x)=
Mai usor ca ametesc!
Solutie: Se observa ca F1: R\{0}® R, F1(x)= si F2: R\{0}® R, F2(x)=sunt primitive, respectiv, pentru f | R\{0} si f|x=0. Daca presupunem ca exista F: R® R, primitiva pentru f, atunci F|(-¥ ,0)= F1|(-¥ ,0) + k1 , F |(0,+¥ )= F2|(0,+¥ ) + k2. În practica F trebuie sa fie continua în zero si F(0)=. Deci F nu este primitiva pentru f si în acest caz f nu poseda primitive.

Mama, astia nu glumesc!