Free Web Hosting Provider - Web Hosting - E-commerce - High Speed Internet - Free Web Page
Search the Web

Previous FreeServers Sites Free Web Hosting Provider - Web Hosting - E-commerce - High Speed Internet - Free Web Page - Photo Sharing More FreeServers Sites
Search the Web

Exercitii complexe

Eu cu cine votez?
Fie f : [a, b] ® R si cĪ (a, b). Se spune ca f admite primitive pe [a, c] si pe [c, b]. Sa se arate ca f admite primitive pe [a, b].

Rezolvare: Fie F : [a, c] ® R si F¢ =f|[a, c] , G : [c, b] ® R si G¢ =f|[c, b] astfel īncāt F(c)=G(c). Definim H : [a, b] ® R astfel:

H(x)= H este primitiva pentru f.

 

Oi fi tu desteapta dar... sa nu ma faci tu pe mine primitiv!
Fie f1 : [a, b] ® R si f2 : [a, b] ® R doua functii care admit primitive. Presupunem ca exista o multime finita A de puncte din [a, b] astfel īncāt " xĪ [a, b]\A Ž f1(x)= f2(x).

Rezolvare: Fie g : [a, b] ® R, g= f1–f2 . Observam ca g are proprietatea lui Darboux si g(x)=0 " xĪ [a, b]\A. Atunci g(x)=0 " xĪ [a, b] deci f1(x)= f2(x) " xĪ [a, b].

 

Si astia ce mai vor vere?
Sa se arate ca daca f : R® R este astfel īncāt f2(x)=1 pentru orice x, atunci f are o primitiva daca si numai daca f=1 sau f=-1.

Rezolvare: Se observa ca daca f=1 sau f=-1 atunci f are o primitiva. Presupunem ca f2(x)=1, " xĪ R si f admite primitive si aratam ca f=1 sau f=-1. Daca f(x)= unde AČ B=R si AĒ B=F , A¹ F , B¹ F , atunci f nu are proprietatea lui Darboux. Deci , sau A sau B este vida, rezulta sau f=1 sau f=-1.

 

Fie [a, b] un interval din R. Sa se construiasca o functie f : [a, b] ® R care sa posede urmatoarele proprietati:
  • sa fie marginita;
  • sa fie continua īn orice punct din intervalul deschisa (a, b) si sa fie discontinua īn punctele a si b;
  • sa posede o primitiva;
  • sa fie egala cu zero īn punctele a si b;

Rezolvare: Fie functia f(x)=

Observam ca deci f este marginita.

Observam ca f este continua pe (a, b). Demonstram ca f este discontinua īn a si b. Fie n0Ī N fixat, astfel īncāt si

pentru n ³ n0. Daca n® „ , xn® a, xn> a si f(x)® a-b¹ 0, deci f este discontinua īn a. Analog se arata ca f este discontinua īn b. Fie g(x)= si G o primitiva a sa si F(x)=G((x-a)(x-b)), xĪ [a, b]. F este o primitiva pentru f. f(x)=0, xĪ {a, b} din constructia lui f.

Ce vrei vere, toti sa fie destepti?
Fie f : [a, b] ® R o functie strict crescatoare care admite primitive si fie F o primitiva a lui f. Sa se arate ca pentru orice x Ī (a, b) exista

x1 , x2Ī [a, b] astfel īncāt .

Rezolvare: Definim functiile g : [a, b] ® R si h : [a, b] ® R prin:

g(x)= h(x)=

Observam ca g, h sunt continue iar g(a)=f(a)< f(x )< f(b) deoarece f este strict crescatoare. Deosebim cazurile:

Daca g(b)< f(x ), atunci g(a)< f(x )£ g(b). Dar g are proprietatea lui Darboux, atunci exista x1Ī (a, b] astfel īncāt g(x1)=f(x ), adica

Daca g(b)³ f(x ), atunci h(a)=g(b)< f(x )< h(b). Dar h are proprietatea lui Darboux atunci exista x2Ī (a, b) astfel īncāt h(x2)=f(x ), adica Aplicānd cele demonstrate pe intervalele [a, x1] sau [x1, b] obtinem relatia din enunt.

VICTORIE !

Victorie? Asupra cui? A primitivelor?

De ce nu asupra primitivilor?